RELASI
Jika di kehidupan nyata, ada yang namanya suatu
hubungan (relasi) antara individu dan individu didalam suatu kelompok. Ataupun
hubungan unsur lain terhadap unsur/ hal lain, misal, hubungan antar tetangga,
hubungan mahasiswa dengan mata kuliah ataupun hubungan dosen dengan pelajaran yang diampunya, dan lain-lain.
Di materi Relasi ini, saya
akan membahas tentang hubungan/ relasi, hubungan antara dua unsur/himpunan yang
tidak kosong dengan satu aturan hubungan/perkaitan tertentu, Penjelasan yang
saya akan jelaskan meliputi definisi dan fungsi, operasi dan sifatnya.
Definisi
Kita misalkan E & F sebagai himpunan, hubungan antara himpunan E & himpunan F merupakan himpunan yang memiliki pasangan atau huruf/
angka yang berurutan, tetapi mengikuti aturan tertentu. Dengan
demikian hubungan biner R antar himpunan E dan F, merupakan himpunan dari E × F / R ⊆(E × F).
Example:
Misal E = {2, 4, 6} dan F = {2, 4, 6, 8 }.
Jika didefinisikan relasi R dari E ke F menggunakan aturan seperti, (e,fb)
∈
R jika faktor dari f, dan Seperti yang kalian
pelajari sebelumnya atau yang sudah kalian ketahui,
E ×
F menjadi :
E × F = {(2, 2), (2, 4), (2,
6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8)}
Jika menggunakan aturan relasi/ hubungan diatas,
relasi R dari E ke F
yang mengikuti aturan tadi menjadi,
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}
Hubungan/Relasi bisa juga terjadi hanya pada satu atau sebuah himpunan,
yaitu hubungan pada E, di himpunan E, yang merupakan
himpunan E × E
Example:
Misal R a/ relasi pada E = {2, 3,
4, 8, 9} yang diumpamakan :
(x, y) ∈ R
dan bila x habis dapat dibagi oleh y.
Relasi R pada E yang menggikuti aturan tersebut a/
seperti dibawah ini.
R = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (8, 8), (8,
2), (8, 4), (3, 3), (9, 9), (9, 3)}
Example about Relation/ contoh relasi :
E :NAMA, SUBYEK/ Domain
F :OBYEK/ Kodomain
R :Relasi atau hubungan antar makanan favorit
Sifat-Sifat Relasi
Relasi atau hubungan pada himpunan punya suatu
sifat, sifat-sifat yang ada seperti..
1. Refleksif (reflexive)
Suatu relasi R pada himpunan E disebut
refleksif jika (e, e) ∈
R untuk setiap e ∈ E. Dan bisa disebut juga
hubungan relasi R pada himpunan E diketahui tidak refleksif
jika e ∈ E dan begitu pula jika (a, a) ∉
R.
Example:
Misalkan E = {1, 2, 3, 4},
dan sifat
Relasi R adalah ‘≤’ yang dimisalkan
himpunan E, jadi
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,
2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4),
(4, 4)}
Kelihatan bukan jika (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) adalah bagian
unsur dari R. Jika begitu R dinyatakan himpunan Refleksif
Example :
Misalkan E = {2, 3, 4, 8, 9, 15}.
Jika kita misalkan relasi R yang ada di
himpunan A memiliki aturan:
(e, f) ∈ R jika
e faktor prima dari f
Perlu diteliti/ diketahuin jika(4, 4) ∉
R .
Jadi, jelas bahwa R tidak dan bukan bersifat refleksif.
Sifat refleksif memiliki ciri khas dalam pembuktian
suatu relasi, seperti:
• Relasi yang memiliki sifat refleksif memiliki
matriks dengan unsur utamanya semua bernilai 1, atau mii =
1, untuk i = 1, 2, …, n,
• Relasi yang memiliki sifat refleksif jika
dibuktikan dalam bentuk graf terarah jadi
di graf tersebut akan ditemukan sebuah loop pada setiap simpulnya.
2. Simetri (symmetric)
dan Anti Simetri (antisymmetric)
Suatu relasi R di himpunan E memiliki
sifat simetri jika
(e, f) ∈ R,
jika setiap e, f ∈ E , jadi (e, f)
∈
R.
Suatu relasi R pada himpunan E dikatakan
tidak simetri jika (e,f) ∈ R sementara itu (e,
f) ∉ R.
Pada suatu relasi R dihimpunan E mempunyai
anti simetri dan misalkan untuk setiap
a,
b ∈ A, (a, b) ∈
R dan (b, a) ∈ R diakui jika a =
b.
Perhatikan bila istilah/ definisi simetri dan
anti simetri bukanlah berlawanan, karena suatu relasi bisa punya kedua sifat itu sekaligus. tapi , suatu
relasi tak bisa mempunyai kedua sifat itu
jika dia punya atau memiliki pasangan berurutan atau terurut dengan bentuk
(a,
b) yang mana a ≠ b.
example:
Misal R adalah sebuah relasi di himpunan
Riil, yang dinyatakan oleh :
e R f bila
& hanya jika e – f ∈
Y.
Memeriksa atau menyatakan relasi R memiliki
sifat simetri !
Misal e R f jadi/ maka (e – f) ∈
Y, Sementara (f –
e) ∈ Z.
Dan bila menyatakan seperti ini R memiliki
sifat simetri.
Example :
Buktikan bila relasi ‘≤’ adalah himpunan Z. Yang bersifat anti simetri
Jadi jika e ≤ f dan f ≤
e berarti e = f.
Hasilnya adalah
‘≤’ menjadi/ memiliki sifat anti simetri.
3. Transitif (transitive)
Sebuah atau suatu relasi atau hubungan R pada himpunan E mempunyai sifat
transitif bila
(a, b) ∈ R dan
(b, c) ∈ R, maka (a, c)
∈
R, untuk a, b, c ∈ A.
example :
Misal E = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, & relasi
dapat diartikan bila :
e R f jikalau
& hanya bila e membagi f, dimana e, f ∈
E
Dan bila kita perhatikan definisi relasi R yang
terdapat pada himpunan E, jadi :
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3,
3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}
Dan Bila (2, 4) ∈ R & (4, 8 ) ∈
R terbukti bila (2, 8 ) ∈
R.
Dan relasi R memiliki sifat transitif.
Example :
R adalah relasi yang ada pada himpunan
bilangan Riil N yang diketahui atau didefinisikan seperti:
R : E + f = 5, e,
f ∈ E,
Dengan mengikuti relasi R pada himpunan E,
jadi:
R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }
Buktikan bila (1, 4) ∈ R & (4, 1) ∈
R , terapi (1, 1) ∉ R.
Jika seperti ini relasi R bukan atau tidak
memiliki sifat transitif.
Sifat transitif memiliki beberapa ciri didalam
pembuktian satu relasi , misalkan, sifat transitif di graf yang terarah dinyatakan seperti:
Bila ada satu/ sebuah busur dari e ke f dan
busur dari f ke g,
jadi juga memiliki sebuah busur
Berarah/ diarahkan dari e ke g.
Dan saat/ bila menyajikan suatu relasi transitif didalam
bentuk matriks, sebuah relasi transitif tidak memiliki satu ciri khusus di
matriksnya.
